Ik weet dat je snakt naar "de" magische oplossing, maar die bestaat niet. Of toch niet op korte termijn.
De beste raad die ik je kan geven is: ken je vijand. Want dan herken je zijn zwakke(re) punten.
De website "Flora van Nederland" geeft goede beschrijvingen, foto's en filmpjes van wilde planten en hoe je ze kan herkennen.
Voor jakobskruiskruid (geen "sint" erbij en zonder "c" - wetenschappelijke naam: Jacobaea vulgaris s. vulgaris):
https://www.floravannederland.nl/planten/jakobskruiskruid
Voor sintjanskruid (Hypericum perforatum) :
https://www.floravannederland.nl/planten/sint-janskruid
Op basis van wat je schrijft gaat de rest van dit antwoord ervan uit dat je inderdaad te maken hebt met jakobskruiskruid.
(Mocht je toch nog twijfelen: sintjanskruid laat zich hier (droge zandgrond) gemakkelijk verwijderen. De wortels zijn heel herkenbaar rood van kleur en heel wat dunner dan die van jakobskruiskruid.)
Ik weet dat heel wat sites aanbevelen om de plant handmatig te verwijderen en/of te beheren door op de juiste tijdstippen (afhankelijk van het weer: eind juni/begin juli en nog een keer eind augustus) te maaien. Bij een "invasie" krijg je de raad om de wei om te ploegen en opnieuw in te zaaien.
Zoals je zelf al vastgesteld hebt, is handmatig verwijderen alleen doenbaar als het aantal planten in de wei beperkt is. Misschien lukt het wel nog min of meer om alleen de jonge rosetten te verwijderen. Mocht je dat toch willen proberen, zaai dan meteen de vrijgekomen plekken in, of dek ze af met mulch (zie hieronder).
Maaien heeft het nadeel dat de plant reageert door extra bloemstengels (= extra zaad) aan te maken. (Bekijkt het vanuit het standpunt van de plant: je hebt maar één jaar om voor nageslacht te zorgen.)
De wei omploegen en opnieuw inzaaien vraagt tijd.
Er zijn nog opties.
Jakobskruiskruid is een pionierplant. D.w.z. dat hij profiteert van kale plakken waar andere planten zich nog niet gevestigd hebben. Typisch voor pionierplanten is dat ze, na een tijd, weggedrukt worden door andere planten. (= Successie)
Voor een beschrijving van de manier waarop dat werkt voor jakobskruiskruid, zie
https://natuurtijdschriften.nl/pub/580361/DLN2012113001003.pdf
I.p.v. te proberen om de hele plant te verwijderen of te maaien zou je er dus voor kunnen kiezen om helemaal niets te doen. Dat is wat Natuurpunt hier in de buurt ook aan het doen is met een grote wei.
Als je wil vermijden dat de plant zich ondertussen uitzaait naar aanliggende percelen, zou je de uitgebloeide bloemen kunnen verwijderen. (Dat vraagt nog altijd heel wat tijd, maar kost alvast minder moeite dan het uitgraven van de wortels.)
Ik weet niet op welke manier damherten grazen. Koeien "snijden" de planten af. Paarden rukken ze eerder uit, zodat de wei sneller kale plekken zal krijgen.
Als je regelmatig kale plekken in de wei ziet, zou je ook kunnen proberen de wei te mulchen:
https://www.equiculture.net/blog/the-magic-of-mulching-with-horses
Dat artikel is in het Engels. Als je hulp nodig hebt met het Engels, is
https://www.deepl.com/nl/translator een goede, gratis vertaalsite.